@Akai Haruma

Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}=\frac{a-b+c-d}{b-c+d-e}\left(1\right)\)

Ta lại có: \(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\\\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=\frac{b^2}{c}\\e=\frac{d^2}{c}\\d=\frac{c^2}{b}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{e}=\frac{b^2}{d^2}\\d=\frac{c^2}{b}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{a}{e}=\frac{b^2}{\left(\frac{c^2}{b}\right)^2}=\frac{b^4}{c^4}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{a}{e}=\left(\frac{a-b+c-d}{b-c+d-e}\right)^4\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{4a\left(b+c\right)}}=1\)

Tương tự với các phân thức còn lại, sau đó cộng theo vế ta được :

\(VT+\frac{b+c}{4a}+\frac{c+d}{4b}+\frac{d+e}{4c}+\frac{e+a}{4d}+\frac{a+b}{4e}\ge5\)

\(\Leftrightarrow VT\ge5-\frac{1}{4}\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+d}{b}+\frac{d+e}{c}+\frac{e+a}{d}+\frac{a+b}{e}\right)\)

\(=5-\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{d}{c}+\frac{e}{c}+\frac{e}{d}+\frac{a}{d}+\frac{a}{e}+\frac{b}{e}\right)\)

\(\ge5-\frac{1}{4}\cdot10\sqrt[10]{\frac{b\cdot c\cdot c\cdot d\cdot d\cdot e\cdot e\cdot a\cdot a\cdot b}{a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot c\cdot c\cdot d\cdot d\cdot e\cdot e}}=5-\frac{1}{4}\cdot10=\frac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=e=1\)

a)Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{b}{c}=\frac{d}{e}=\frac{abcd}{bcde}=\frac{a}{e}\) (1)

Mặt khác,theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{b}{c}=\frac{d}{e}=\frac{a+b+c+d}{b+d+c+e}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{e}=\left(\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\right)^{\left(đpcm\: \right)}\)

b) Xin phép sửa đề! =) CMR: \(\frac{a}{e}=\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}\)

Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{b}{c}=\frac{d}{e}\Rightarrow\frac{a^4}{b^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{abcd}{bcde}=\frac{a}{e}\) (1)

Mặt khác theo t/c dãy tỉ số bằng nhau,ta có: \(\frac{a^4}{b^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{e}=\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}^{\left(đpcm\right)}\)

P/s: Bạn đánh sai đề hoài như thế sẽ ảnh hưởng đến việc giải bài của các bạn khác gây khó khăn cho họ. Như vậy,họ sẽ không giúp bạn nữa. Rút kinh nghiệm lần sau đánh đề cẩn thận hơn nhé!

a) Có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{b}{c}=\frac{d}{e}\Leftrightarrow\frac{abcd}{bdce}=\frac{a}{2}\) (1)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{b}{c}=\frac{d}{e}=\frac{a+c+b+d}{b+d+c+e}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)\(\frac{a}{e}=\left(\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\right)\)( đpcm )

b) Mình sửa lại tí nha: \(\frac{a}{e}=\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}\)

Có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{b}{c}=\frac{d}{e}=\frac{a^4}{b^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{\left(abcd\right)^4}{\left(bdce\right)^4}=\frac{a}{e}\)(1)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a^4}{b^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{a^4+c^4+b^4+d^4}{b^4+d^4+c^4+e^4}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{e}=\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}\)( đpcm )

\(a)\) Đề sai nhé: CMR: \(\frac{a}{e}=\left(\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\right)^4\) mới đúng 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{b}{c}=\frac{d}{e}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(\frac{a}{b}\right)^4=\left(\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\right)^4\) \(\left(1\right)\)

Lại có : 

\(\left(\frac{a}{b}\right)^4=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}.\frac{d}{e}=\frac{abcd}{bcde}=\frac{a}{e}\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{a}{e}=\left(\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\right)^4\) ( đpcm ) 

Chúc bạn học tốt ~ 

????????????????????????????????????????

Mình chỉ làm bài 1a, và bài 3 thôi nhé,còn lại là bạn tự làm nhé

Bài 1:

a, Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow\left[\frac{a}{b}\right]^2=\left[\frac{c}{d}\right]^2=\left[\frac{a+c}{b+d}\right]^2\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\)

Bài 3 : Sửa đề : Cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)

CM : a = b = c

Cách 1 : Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

vì \(a+b+c\ne0\)

\(\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b;\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\)

Do đó : \(a=b=c\).

Cách 2 : Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=m\), ta có : \(a=bm,b=cm,c=am\)

Do đó : \(a=bm=m(mc)=m\left[m(ma)\right]\)

\(\Rightarrow a=m^3a\Rightarrow m^3=1(a\ne0)\Rightarrow m=1\)

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)

Cách 3 : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow1=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow\frac{a}{b}=1\)

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)